دراسة لقابلية القسمة على عدد صحيح

قابلية القسمة على كل الأعداد 2 و 3 و 4 و... 7و13و17و19و. .


1 ) قابلية القسمة على 2

يقبل عدد ما القسمة على 2 إذا كان آحاده صفر أو عدداً زوجياً

2 ) قابلية القسمة على 3

يقبل عدد ما القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3

3 )قابلية القسمة على 4

يقبل عدد ما القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 4

4 ) قابلية القسمة على 5

يقبل عدد ما القسمة على 5 إذا كان آحاده ( 0 أو 5 )

5 ) قابلية القسمة على 6

يقبل عدد ما القسمة على 6 إذا كان يقبل القسمة على ( 2 و 3 معا )

6 ) قابلية القسمة على 7 و 13 و ..

انظر نهاية المقالة

7 ) قابلية القسمة على 8

يقبل عدد ما القسمة على 8 إذا كان ( الآحاد + 2 × العشرات + 4 × المئات ) يقبل القسمة على 8

8 ) قابلية القسمة على 9

يقبل عدد ما القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9

9 ) قابلية القسمة على 10

يقبل عدد ما القسمة على 10 إذا كان آحاده صفر

10 ) قابلية القسمة على 11
يقبل عدد ما القسمة على 11 إذا كان
الفرق بين مجموع المنازل الفردية ومجموع المنازل الزوجية ( 0 أو يقبل القسمة على 11 )
مثال: 1296845 (مجموع المراتب الفردية= 5+8+9+1=23) - (مجموع المراتب الزوجية = 4+6+2=12)= 11
أو يمكن طرح كل منزلتين متتاليتين وجمع الناتج
( 5 – 4 ) + ( 8 – 6 ) + ( 9 – 2 ) + ( 1 – 0 ) = 11 وهو يقبل القسمة على 11

11 ) قابلية القسمة على ضرب عددين أوليين فيما بينهما
يقبل عدد ما القسمة على ب × حـ إذا كان يقبل القسمة على كل منهما وكان ب ، حـ أوليين فيما بينهما
24 يقبل القسمة على 2 , 3 إذن 24 يقبل القسمة على 6
45 يقبل القسمة على 5 , 3 إذن 45 يقبل القسمة على 15

إذا كان العدد يقبل القسمة على 3 و 4 فإنه يقبل القسمة على 12

إذا كان العدد يقبل القسمة على 2 و 9 فإنه يقبل القسمة على 18

وهكذا نستطيع إيجاد قابلية القسمة على أعداد أخرى بإتباع القاعدة السابقة

ملاحظة: ملاحظة 36 يقبل القسمة على 2 , 4
وهذا لا يعني ولا يمكن أن نستنتج أن 36 يقبل القسمة على 8 لأن 2 ، 4 غير أوليين فيما بينهما


12 ) قابلية القسمة على 25

يقبل عدد ما القسمة على 25 إذا كان العدد المكون من الآحاد والعشرات يقبل القسمة على 25 أو كان كلاً من رقمي الآحاد والعشرات صفراً .

13 ) قابلية القسمة على 7 و 11 و 13 معاً وأيضا على 1001

أي عدد مكون من ستة منازل (مراتب آحاد عشرات . . . ) إذا تكررت الأرقام الثلاث بالتتالي كان يقبل القسمة على 1001
وهو أيضا يقبل القسم على كل من الأعداد الأولية 7 ، 11 ، 13 لأن 1001 = 7 × 11 × 13
مثاله ( 123123 ) و ( 469469 ) و ( 775775 ) تقبل القسمة على (7 ، 11 ، 13 ) وعلى جداء أي أثنين منها فهي تقبل القسمة على 77 ، 143 ، 91 . . .

قابلية القسمة على 7
المبدأ العام :
إذا كان س مضاعف للعدد ك وكان س + ص مضاعفاً للعدد ك فإن ص مضاعف لـ ك
البرهان بسيط وهو :
س = ن1 × ك ، س + ص = ن2 × ك ـ ص = ( ن2 - ن1 ) × ك
ك ، ن1 ، ن2 أعداد صحيحة

والآن أي عدد مهما كان عدد مراتبه ( منازله آحاد ، عشرات ، مئات ، ألوف ، ....... )

نأخذ الآحاد ونسميه ب ثم نأخذ العدد المتبقي ونسميه حـ

أي عدد مهما كان عدد مراتبه يكتب على الشكل: ب + 10 حـ
أي عدد ب + 10 حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
نأخذ 2 × ب - حـ
------------------- نجمع الأعداد السابقة الأربع
لنجد 7 × ب + 7 حـ وهذا يقبل القسمة على 7

إذن إذا كان ( 2 × ب - حـ ) يقبل القسمة على 7 فإن العدد المطلوب يقبل القسمة على 7

مثال1: 105 ،ب = 5 ، جـ = 10 ، 2 × ب - حـ = 0 وهو من مضاعفات 7 فالعدد 105 يقبل القسمة على 7
مثال2: 875 يقبل القسمة على 7 لأن ب= 5 ، حـ = 87 و 2× ب - حـ = 77 يقبل القسمة على 7
مثال3: 5782 يقبل القمة على 7 تطبق القاعدة ذاتها مرتين متتاليتين:
الأولى: 4 - 578 = - 574 نطبق القاعدة على العدد الناتج دون النظر للإشارة أي |العدد|
الثانية: 8 - 57 = - 49 وهو يقبل القسمة على 7 إذن 5782 يقبل القسمة على 7
مثال4 : هل 30527 يقبل القسمة على 7
تطبق القاعدة على التتالي
1 ) 3052 – 14 = 3038
2 ) 303 – 16 = 287
3 ) 28 – 16 = 14 وهو من مضاعفات العدد 7

ملاحظة : يمكن أن نأخذ ( حـ - 2 × ب ) بدلا من ( 2 × ب - حـ ) لأن الفرق بالإشارة فقط
أي عدد يجزأ إلى جزأين الأول ب = أحاد العدد والجزء الثاني حـ = العدد الناتج من حذف رقم الآحاد

إذا كان العدد: حـ - 2 × ب من مضاعفات 7 فإن العدد المجزأ يقبل القسمة على 7

14 ) يقبل عدد ما القسمة على 7 إذا كان 2 × ب - حـ يقبل القسمة على 7

15 ) يقبل عدد ما القسمة على 13 إذا كان 4 × ب + حـ يقبل القسمة على 13

16 ) يقبل عدد ما القسمة على 17 إذا كان حـ - 5 × ب يقبل القسمة على 17

17 ) يقبل عدد ما القسمة على 19 إذا كان 2 × ب + حـ يقبل القسمة على 19

18 ) يقبل عدد ما القسمة على 23 إذا كان 7 × ب + حـ يقبل القسمة على 23

19 ) يقبل عدد ما القسمة على 29 إذا كان 3 × ب + حـ يقبل القسمة على 29

20 ) يقبل عدد ما القسمة على 31 إذا كان حـ - 3 × ب يقبل القسمة على 31

ويمكن بنفس الطريقة إيجاد قابلية القسمة على أي عدد