محاضرة ( مبدأ العد )

مبدأ الجمع و مبدأ الضرب Addition and Multiplication Principles


مبدأ الجمع: إذا كان هناك عدد n من الأحداث , اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي بحيث
1) الحادث اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي (i=1,2,...n) يمكنه الظهور بطرق عددها اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
2) لايمكن لحدثين أن يظهرا معا
فإن عدد طرق ظهور أحد هذه الأحداث يساوياضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي.
مبدأ الضرب: إذا كان هناك إجراء (حدث , تجربة) تتم بعدد n من الخطوات المتسلسلة اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي بحيث
1) الخطوة اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي (i=1,2,...n) يمكنها أن تتم بطرق عددها اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
2) عدد طرق ظهور خطوة ما في هذه السلسلة لا يعتمد على كيفية ظهور الخطوات السابقة لها.
فإن الإجراء كاملا يمكن أن يتم بطرق عددها اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي.
وقد جرت العادة على إطلاق التسمية "مبدأ العد" على مبدأ الضرب وذلك لكثرة استخدامه في مسائل العد مقانة بمدأ الجمع. لذلك عندما يرد مصطلح "مبدأ العد" دون تحديد فإننا نقصد مبدأ الضرب.
مثال: يتيح كلا من قسم الرياضيات وقسم الفيزياء وقسم علوم الأرض 3 مواد , 4 مواد , مادتان على الترتيب للطلاب من الأقسام الأخرى الراغبين في تسجيل مواد اختيارية في هذه الأقسام.
1) بكم طريقة يستطيع طالب كلية الآداب اختيار مادة واحدة فقط من أحد هذه الأقسام ؟
2) وبكم طريقة يستطيع اختيار3 مواد من كل قسم مادة؟
لتكن X مجموعة المواد الرياضية, و Yمجموعة المواد الفيزيائية , و Z مجموعة مواد العلوم الأرضية المتاحة له. إذا
عدد طرق اختيار عنصر من X =3
عدد طرق اختيار عنصر من Y =4
عدد طرق اختيار عنصر من Z = 2

1) كل هذه المجموعات منفصلة عن بعضها البعض لذلك وحسب مبدأ الجمع فإن عدد طرق اختيار مادة واحدة يساوي 3+4+2=9 طرق.
2) عدد طرق اختيار مادة من أحد الأقسام مستقل عن عدد طرق اختيار مادة من القسم الآخر ولذلك فمن مبدأ الضرب عدد طرق اختيار 3 مواد (من كل قسم مادة) يساوي 3*4*2= 24 طريقة.
أحيانا تكون مسالة إيجاد عدد الطرق لإجراء معين مركبة من مبدا الجمع ومبدأ الضرب مثل لو سأل احدهم عن عدد طرق كتابة شفرة لبطاقة بحيث تتكون من ثلاثة اعداد يليها ثلاثة حروف أو ثلاثة أعداد يليها ثلاثة أعداد.هنا تفصل المسألة إلى حالتين ونعالج كل حالة باستخدام مبدأ الضرب ثم تجمع الطرق اعتمادا على مبدأ الجمع.

الله يعطيك العافية .. والله مجهودك يحرجنا


تقبل مروري

اخوك مشعل