محاضرة ( مبدأ التضمين والاستبعاد )

لنرمز لعدد عناصر مجموعة منتهية A بالرمز اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي. معلوم أنه إذا كانت A,B مجموعتين منتهيتين منفصلتين فإن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

أما إذا كان تقاطع[م] المجموعتين غير خال فإن اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي لا يعبر عن المجموع الصحيح لعناصر إتحاد المجموعتين وذلك لأن عناصر التقاطع تضمنها المجموع مرتين, مرة باعتبارها عناصر من A وأخرى باعتبارها عناصر من B لذلك فلابد من استبعادها مرة واحدة. وعليه فإن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

هذا هو مبدأ التضمين والاستبعاد في أبسط صور.
في حالة ثلاث مجموعات اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي منتهية فإن المبدأ على الصورة التالية

اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

لاحظ الإشارات كانت موجبة في حالة حساب عدد عناصر كل مجموعة لوحدها ثم سالبة في حالة حساب تقاطع المجموعات مثنى مثنى ثم تغيرت إلى موجبة في حالة حساب التقاطع ثلاثة ثلاثة. الآن الى الصورة العامة.

مبدأ التضمن والاستبعاد: إذا كانت اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي مجموعات منتهية فإن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

إذا كانت A مجموعة جزئية من مجموعة شاملة X عدد عناصرها N فإن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
من هذا ومن قانون ديمورغان

اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

نستنتج أن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

وبالتعويض في صيغة التضمن والاستبعاد نحصل على العلاقة
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

لمبدأ التضمن والاستبعاد تطبيقات متعددة تتعلق بالعناصر من مجموعة أو عدة مجموعات والتي لها أكثر من خاصية. ونبدأ بهذه المسألة البسيطة والمباشرة
مثال 1: إذا كان هناك مجموعة من الطلاب فيهم 15 طالبا ناجحين في الرياضيات و9 ناجحين في الفيزياء و 11 طالبا ناجحا في كلتا المادتين فكم طالب في هذه المجموعة؟
الحل: إذا عبرنا عن الناجحين في الرياضيات بالمجموعة الجزئية A والناجحين في الفيزياء بالمجموعة الجزئية Y فإن السؤال يتعلق بإيجاد اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي. إذا لدينا 13 طالبا لأن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

مثال 2: كم عددا في المجموعة ليس مربعا كاملا ولا مكعبا كاملا ولا كاملا بقوة رابعة؟.
الحل: لتكن A,B,C هي المجموعات الجزئية من X التي تحوي المربعات , المكعبات , القوة الرابعة على الترتيب.
العدد 31 هو أكبر عدد يقع مربعه داخل X لذلك اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
العدد 10 هو أكبر عدد يقع مكعبه داخل X لذلك اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
العدد 5 هو أكبر عدد تقع قوته الرابعة داخل X لذلك اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

المطلوب من المسألة ليس سوى اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي. إذا علينا أيجاد عناصر التقاطعات المختلفة من المجموعات الثلاث A,B,C.
المجموعة اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي هي تحديدا العناصر من X التي يمكن كتابتها على شكل قوة سادسة وحيث 3 هو أكبر عدد بقوة 6 يقع داخل X فإن اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي. كل عنصر من C يقع في اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي (لماذا؟). إذا اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي. أخيرا اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعيلأن هذا التقاطع خاص فقط بالعناصر التي هي على الشكل اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي وليس هنا سوى a=1. وحيث
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
وهذا لأن هذا التقاطع محتوى في اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي والعدد 1 موجود في المجموعات الثلاث. من كل ما سبق ومن مبدأ التضمن والاستبعاد
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي
إذا العدد المطلوب هو
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي

مسائل

* اثبت بالاستقراء الرياضي[م], إذا كانت اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي مجموعات منفصلة من مجموعة شاملة منتهية X فإن
اضغط على الصورة لمشاهدتها بالحجم الطبيعي