نموذج لامتحان الحلقات والحقول

وزارة التعليم العالي المقرر : حلقات و حقول
جامعة الملك سعود الرمــز :
كلية المعلمين الزمـن : ساعتان ونصف
الامتحان النهائي للفصل الثاني من العام الدراسي 1427-1428 هـ
" دبلوم الرياضيات لتعليم ما فوق المرحلة الابتدائية "

السؤال الأول : لتكن X مجوعة غير خالية , ادرس الحلقة من حيث كونها
( أ ) حلقة بول ( ب ) حلقة ابدالية ذات عنصر وحده
( ج ) حلقة تامة ( د ) حقلا
ثم أوجد مميز هذه الحلقة ؟


السؤال الثاني : لتكن Z هي حلقة الاعداد الصحيحة , فأجب عما يلي :
( 1 ) هل Z تمثل حقلا ؟
( 2 ) اثبت ان الحلقة Z حلقة اقليدية ثم أثبت انها رئيسة المثالي ؟
( 3 ) أوجد مميز Z ثم أثبت أن ؟
( 4 ) اثبت ان المجموعة 2Z تمثل حلقة جزئية من Z ؟ هل 2Z حلقة اقليدية ؟
( 5 ) أثبت ان حقلا ؟
( 6 ) أوجد مرافقات العنصر ؟
( 7 ) هل المثالي I={ 0 } يعتبر مثالي أولي في الحلقة Z ؟

السؤال الثالث : لتكن R حلقة و سوف نعرف المجموعة

( أ ) أثبت ان مثالي في الحلقة R .
( ب ) أوجد ؟
( ج ) اذا كانت وحدة فاوجد ؟

السؤال الرابع : أجب على ( ثلاث فقرات فقط )
( 1 ) عرف الحقل الأولي ؟ ثم اثبت أن الحقل Q حقلا أوليا ؟ هل الحقل حقلا
أوليا أم لا ؟
( 2 ) أثبت انه لأي حقل F مثاليين فقط هما { 0 } , F . ثم اثبت ان للحقل F مثالي
أعظمي وحيد ؟
( 3 ) اذكر نص نظرية التشاكل الثالثة ثم أثبت أنه اذا كان مثاليان في الحلقة R
فان .
( 4 ) أثبت انه اذا كانت R حلقة منتهية ذات عنصر وحدة وكان ليس وحدة
فان قاسما للصفر .
( 5 ) لتكن R حلقة و U هي مجوعة جميع الوحدات في الحلقة R , أثبت أن ( U , . )
زمرة , ثم أوجد U في حالة كون